Abstract:
Математичне моделювання економічних процесів є актуальним напрямом дослідження, тому що від цього залежить добробут громадян і країни в цілому. У разі ринку, ціни більшості товарів та послуг не плануються централізовано, не регулюються безпосередньо державою, а вільно встановлюються і змінюються самим ринком. Основними факторами, що керують рухом цін на ринку, є попит та пропозиція товарів. В економіці найбільш важливими є динамічні моделі, параметри яких змінюються в часі. Модель Еванса (модель Вальраса-Еванса-Самуельсона) нині є однією з базових концепцій, що пояснюють динамічне встановлення рівноважної ціни на ринку одного товару під впливом попиту та пропозиції. Це зумовлено тим, що знаючи динаміку економічного параметра, що цікавить нас, можна спробувати побудувати прогноз його подальшої еволюції. У статті розглядається ринок одного товару. Для зручності вважатимемо, що функції залежності попиту та пропозиції від ціни задані лінійними співвідношеннями. Побудова моделі Еванса полягає в тому, що зміна ціни прямо пропорційна до перевищення попиту над пропозицією і тривалості цього перевищення. Отримано диференціальне рівняння Самуельсона з початковою умовою, тобто задача Коші. Рівняння Самуельсона має стаціонарну (рівноважну) точку, що є додатньою ціною, при якій попит і пропозиції будуть рівні. Аналіз отриманого рішення задачі показує, що за досить тривалого часу (умовно кажучи, при ) ціна асимптотично наближається до рівноважного значення. Якщо нас цікавить не тимчасова залежність, а лише рівноважна ціна, то її можна знайти з диференціального рівняння відразу, задавши умову , це так званий граничний стаціонарний режим. Розв'язання задачі Коші знаходиться методом варіації постійної. Розглядається параметризація моделі за допомогою оператора дробового диференціювання в сенсі Герасимова - Капуто. Отримане рішення проаналізовано в залежності від параметра . Для цього використано асимптотичне представлення функції при великих значеннях аргументу. Зроблено висновки щодо динаміки ціни у часі відносно рівноважної ціни, коли попит та пропозиції рівні.
