Геометричні аспекти трансцендентного перетворення простору

Abstract

У статті розглядаються питання, пов’язані з вивченням можливостей деяких спеціальних координатних систем, які можуть застосовуватися під час проєктування поверхонь складної криволінійної форми. Криві поверхні застосовуються в багатьох галузях науки й техніки, зокрема машинобудуванні, будівництві, архітектурі та інших галузях знань, а також на виробництві. Конструювання складних кривих поверхонь може бути спрощеним, якщо під час проєктування застосовується геометричний апарат створення спеціальної координатної системи. У таких випадках геометричний апарат спеціальної координатної системи органічно зв’язується з геометрією та кінематикою поверхні, що конструюється. У практиці архітектурного проєктування є чимало прикладів застосування спеціальної координатної системи під час проєктування оболонок і різних криволінійних варіантів покриттів будівельних об’єктів та інших споруд. У зв’язку із цим у роботі пропонується докладний опис геометричних перетворень прямокутної декартової системи координат на інші координатні системи. Будь-яку тривимірну систему координат представляємо у вигляді трьох умовних осей і трьох величин, що відкладаються на цих осях. Осі можуть бути прямолінійними чи криволінійними, а координати можуть бути лінійними величинами, кутовими, виражатися простим числом або взагалі бути якоюсь функцією деяких наперед заданих параметрів. Будь-яка точка, лінія або навіть поверхня може використовуватися як початок відліку вибраних координат. Таким чином, отриману безліч координатних систем можна назвати узагальненою координатною системою. Водночас сутність будь-якої просторової координатної системи може бути представлена певною конгруенцією. Геометричним апаратом узагальненої координатної системи є будь-яка конгруенція прямих чи кривих ліній з урахуванням конкретних умов, що зв’язують параметри конгруенції. У визначення «узагальнена координатна система» включаються також відомі в математиці циліндрична та сферична координатні системи.